3줄 요약

  1. Wolfgang Schadner(리히텐슈타인 대학)가 2026년 4월 arXiv에 발표한 논문으로, 블랙-숄즈 내재 변동성의 최초의 닫힌 형태 해(closed-form solution)를 제시한다.
  2. 핵심 발견: 블랙-숄즈 콜 가격이 역가우시안(Inverse Gaussian) 분포의 생존 확률과 수학적으로 동치라는 사실. 이를 뒤집으면 내재 변동성이 IG 분위수 함수 한 번으로 나온다.
  3. 초기 추정값도, 반복도, 근사도 필요 없다. 기계 정밀도까지 정확하고, 기존 최고 성능 root-finder보다 3.4배 빠르다.

블랙-숄즈를 모르는 분을 위한 배경

옵션이란

주식을 일정 가격에 살(혹은 팔) 권리를 거래하는 금융 계약이다. 화재보험에 비유하면, 보험료를 내고 “불이 나면 보상받을 권리"를 사는 것과 같다. 콜 옵션은 “특정 가격에 주식을 살 권리”, 풋 옵션은 “팔 권리"다.

블랙-숄즈 공식

1973년 피셔 블랙과 마이런 숄즈가 발표한 공식으로, 옵션의 “적정 가격"을 수학적으로 계산한다. 입력값은 현재 주가, 행사가, 만기, 이자율, 그리고 변동성(volatility)이다. 숄즈와 머턴은 1997년 노벨 경제학상을 수상했다.

내재 변동성

시장에서 관측된 옵션 가격을 블랙-숄즈 공식에 역으로 넣어서 “시장이 예상하는 변동성"을 추출한 것이다. VIX(공포 지수)의 근간이자 옵션 트레이더가 가장 많이 보는 지표다.

문제는 블랙-숄즈 공식이 변동성 → 가격 방향으로는 깔끔하지만, 가격 → 변동성 방향으로 풀면 해석적 역함수가 없다는 것이었다. $y = x \cdot e^x$에서 $y$를 알 때 $x$를 구하는 것과 비슷한 상황이다.

그래서 50년간 뉴턴법, 이분법, Brent법 같은 수치 탐색(root-finding)이 유일한 방법이었다. 초기 추정값을 잡고 반복적으로 좁혀가는 방식인데, 극단적인 경우 수렴 실패의 위험이 있었다.

Schadner의 발견

BS 가격 = 역가우시안 생존 확률

정규화된 블랙-숄즈 콜 가격 $c$를 총 내재 변동성 $v = \sigma\sqrt{T}$와 로그 머니니스 $k = \ln(K/F)$로 표현하면:

$$c_{\text{BS}}(k,\,v) = \Phi\!\left(-\frac{k}{v}+\frac{v}{2}\right) - e^{k}\,\Phi\!\left(-\frac{k}{v}-\frac{v}{2}\right)$$

Schadner는 이것이 역가우시안 분포의 생존 함수와 항등식임을 증명했다:

$$c_{\text{BS}}(k,\,v) = 1 - \mathcal{F}_{\text{IG}}\!\left(\frac{4}{v^2};\;\mu=\frac{2}{k},\;\lambda=1\right), \quad k > 0$$

근사가 아니다. 수학적으로 정확히 같은 함수다.

닫힌 형태의 역함수

역가우시안 분포는 CDF와 그 역함수(분위수 함수)가 모두 표준 라이브러리에 구현되어 있다. 동치 관계를 뒤집으면:

$$\sigma(K,C) = \frac{2}{\sqrt{T}}\left[\mathcal{F}_{\text{IG}}^{-1}\!\left(\frac{1-c}{m};\;\frac{2}{|k|},\;1\right)\right]^{-1/2}$$

여기서 $m$은 OTM이면 1, ITM이면 $K/F$. 초기 추정값 없이, 반복 없이, 한 번의 함수 호출로 내재 변동성을 직접 계산한다.

ATM 특수 케이스

등가격($K = F$, 즉 $k \to 0$)에서는 IG 분위수가 표준정규 분위수 $\Phi^{-1}$로 축소된다:

$$\sigma(K{=}F,\,C) = \frac{2}{\sqrt{T}}\,\Phi^{-1}\!\left(\frac{c+1}{2}\right)$$

가장 유동적인 ATM 옵션의 내재 변동성이 정규분포 함수 하나로 나온다.

첫 통과 시간 해석

정규화 콜 가격은 “드리프트 $k/2$인 브라운 운동이 시각 $4/v^2$까지 레벨 1에 도달하지 못할 확률"로 재해석된다. 옵션 가격에 확률론적 직관을 부여하는 우아한 해석이다.

벤치마크

방법시간/call비고
Jäckel (2015, 2024) root-finder1.038 μs현 최고 성능 기준
Schadner 닫힌 해0.305 μs3.4배 빠름

기계 정밀도(machine precision)까지 정확하며, 수렴 실패·초기값 민감성 문제가 구조적으로 존재하지 않는다.

기호 정리

기호의미
$C$관측된 콜 옵션 가격
$F$기초자산의 선도 가격
$K$행사가
$T$잔존 만기 (연)
$D$할인 인자 $e^{-rT}$
$\sigma$내재 변동성 — 구하고자 하는 값
$v = \sigma\sqrt{T}$총 내재 변동성
$c = C/(DF)$정규화된 콜 가격
$k = \ln(K/F)$로그 머니니스
$\Phi^{-1}$표준정규 분위수 함수
$\mathcal{F}_{\text{IG}}^{-1}(\cdot;\mu,\lambda)$역가우시안 분위수 함수

인터랙티브 시각화

슬라이더를 움직이면 파란 선(블랙-숄즈 콜 가격)과 빨간 점(역가우시안 생존 확률)이 정확히 겹치는 것을 확인할 수 있다. 주황색 수직선이 닫힌 형태 공식으로 복원한 $\sigma$다.

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계산 중...

가장 흥미로운 지점

50년간 “닫힌 해가 존재하지 않는다"는 것이 정설이었다. Gerhold(2012)가 내재 변동성이 D-finite가 아님을 증명했을 때, 통상적인 닫힌 형태의 가능성은 더욱 좁아진 것으로 여겨졌다. 그런데 Schadner의 해는 이 제약을 우회한다. 내재 변동성을 직접 초등 함수로 표현하는 것이 아니라, 이미 닫힌 형태가 알려진 역가우시안 분포의 분위수 함수를 경유하기 때문이다.

“풀 수 없는 문제"가 실은 관점의 문제였다는 것. 올바른 등가 표현(representation)을 찾으면 난공불락의 역함수가 한 줄로 풀린다는 사실이, 이 논문의 수학적 성과 못지않게 인상적이다.

출처

Wolfgang Schadner, University of Liechtenstein. arXiv 2604.24480v1, 2026년 4월 28일 공개. 원문: https://arxiv.org/html/2604.24480v1

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